[中考复习] 直线与二元一次方程——中难易错题解析系列（1）

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-17

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直线与二元一次方程

——中难易错题解析系列（1）

注：本系列内容收集教学中经常遇到且学生感到困惑的问题进行解析，注重拓展与变式，达到举一反三、抛砖引玉的学习效果．欢迎朋友们供题或投稿.供题时请提供word版(最好附上正确答案)，本人将不定期发布相关内容的小文章．

【试题1】若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=-x/2+b-1上，则常数b=（　　）

A．1/2 B．2 C.-1 D．1

【解析】理解二元方程的解与有序数对（坐标）、对应的一次函数间的关系是解题的关键（点动成线）．即方程组的解x/y的值——一对对应数(x，y)——点的坐标——（点动成线）直线（解析式）．

　将二元一次方程x+2y﹣b=0化简后，可得y=﹣x/2+b/2，所以以此方程的解为坐标的点（x，y）均在直线y=﹣x/2+b/2上，再结合已知条件知：直线y=﹣x/2+b/2与直线y=﹣x/2+b-1显然表示同一直线．对比，知b/2=b-1，解得b=2．故答案为B．

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【拓展2】若以二元一次方程x+2y﹣b+1=0的解x、y的值不可能都是负数，求b的取值范围．

【提示】类似上述分析，将原方程转化为y=-x/2+(-b+1)/2后，只需考虑直线y=-x/2+(-b+1)/2不经过第三象限即可．结合图象(直线y=-x/2经过二、四象限)，知(-b+1)/2≤0，解得b≥1．

【拓展3】不论m为何实数，点P（2m-1，3-m）总是在某一函数图象上，求这个函数的解析式．

【提示】典型的“点动成线”的例题．设x=2m-1，y=3-m，则m=(1+x)/2，进一步得y=3-m=3-(1+x)/2=-x/2+5/2．得y=-x/2+5/2．即点P（2m-1，3-m）总是在函数y=-x/2+5/2的图象上．

【思考】若点P改为（2m-1，3m-m²）呢？

【提示】类似上述解题思路．但要注意计算的正确性，

【拓展4】若P是抛物线y=x²-2x-3上的动点，连接OP(O为坐标原点)，Q是线段OP的中点，求点Q的运动路径所表示的函数关系式．

【提示】设P(m，m²-2m-3)——用一个字母参数就表示点的坐标，相当于表示出对应抛物线上的任意一个动点了，通过三角形中位线定理，不难得到Q(m/2，(m²-2m-3)/2)．设x= m/2，y=(m²-2m-3)/2，则m=2x，进一步，得y=[(2x)²-2×(2x)-3]/2)=2x²-2x-3/2，所以点Q在抛物线y=2x²-2x-3/2运动．

【小结】

1．理解概念是解决问题的关键，尤其是“跨度”较大的知识点；

2．计算(特别是式的计算)太重要了，否则即便有好的思路，不敢算或算不出也是枉然．

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